Teorie dai grups

La Teorie dai grups e je une teorie matematiche nassude tal XIX secul principalmentri cul lavôr di Evariste Galois e di altris matematics de epoche. In curt si pues dî che la teorie dai grups e je il studi di insiemis cuntune operazion definide parsore che e à di vê proprietâts particolârs.

Esemplis di grups si puedin cjatâ in ogni cjanton de matematiche: de gjeometrie ae algjebre, de topologjie ae analisi, in ogni lûc la gjeneralitât de definizion e permet di adatâ il concet di grup a un grum di situazions diferents. Di plui, un grum dai concets plui imediâts che si incuintrin in matematiche a son, cence savêlu, grups. Cuasi ducj i insiemis dai numars (intîrs, razionâls, reâls, complès) a son grups cu la operazion di some (sarès a disi il sempliç plui "+").

Grup

Il concet di font de teorie al è apont il Grup. Viodìn par scomençâ di definîlu par ben.

Definizion

Un grup $(G,*)$ e je une copie formade di un insiemi $G$ e di une operazion *, che e sarès une funzion $*:G\times G\to G$, che verifiche chês trê proprietâts achì:

G1) - proprietât associative: Se $a,b,c\in G$, si a di vê che $(a*b)*c=a*(b*c)$.

G2) - esistence dal element neutri: al è dentri G un element neutri $e$ pe operazion *, al sarès a dî che $a*e=e*a=a$ par ogni $a\in G$.

G3) - esistence dal inviers: a ducj i elements $a\in G$ al è associât un element $b\in G$, che al è clamât inviers di $a$ , di mût che $a*b=b*a=e$.

Dispès, i grups, ancje un grum dai esemplis plui impuartants, a àn une altre proprietât, che comutative, sarès a disi che se $a,b\in G$ alore $a*b=b*a$. In chest câs il grup si clame abelian, o ancje comutatîf.

Esemplis

Come che o vin za dite te introduzion, i esemplis plui sempliçs di grups e son i insiemi numerics. Vedin cumò parcè.

1. L'insieme dai numars intîrs cu la some, $(\mathbb{Z},+)$ al è un grup abelian. Verifichìnlu.