Valôr assolût

Il valôr assolût come distance di un pont de rete reâl de origjin

Il valôr assolût o modul di un numar reâl al è il valôr no-negatîf dal numar, cence il segn. In pratiche, inte rete reâl, al rapresente la distance tra il numar e il zero.

Definizion

Dât un numar reâl $x$, il so valôr assolût si indiche cun $|x|$ e si definìs come $$|x|=\{\begin{array}{cc}x& \text{se }x\ge 0\\ -x& \text{se }x<0.\end{array}$$ Si pues ancje scrivi $$\begin{array}{cc}|x|& =\max \{x;-x\}\\ |x|& =x\cdot \mathrm{𝟏}[x\ge 0]-x\cdot \mathrm{𝟏}[x<0]\end{array}$$ lì che si è usade la funzion indicadore $\mathrm{𝟏}[\cdot ]$, che e vâl 1 se l'argoment al è vêr e 0 se al è fals. Ricuardant che la lidrîs cuadrade e je simpri positive o nule (par esempli, $\sqrt{25}=5$ ancje se $(-5{)}^2=25$), si à ancje $$|x|=\sqrt{x^2}.$$

Proprietâts

Il valôr assolût al gjolt des proprietâts chi sot.

1. Il valôr assolût di un cualsisei numar reâl al è simpri plui grant o avuâl a zero,$$|a|=0\iff a=0.$$
2. Il modul dal prodot di doi numars al è simpri avuâl al prodot dai modui,$$|ab|=|a||b|\mathrm{\forall }a,b\in ℝ.$$
3. Il valôr assolût di un numar reâl e dal so opuest a son avuâi,$$|-a|=|a|,\mathrm{\forall }a\in ℝ.$$
4. Idempotence. Sint il modul un numar positîf, si à$$||a||=|a|$$ven a stâi, il valôr assolût dal valôr assolût di un numar al è il stes valôr assolût.
5. Disavualitât triangolâr. Il valôr assolût de some di doi numars al è simpri minôr o avuâl ae some dai valôrs assolûts$$|a+b|\le |a|+|b|\mathrm{\forall }a,b\in ℝ.$$In particolâr, la avualitât e vâl se e dome se i doi numars a àn il stes segn (a concuardin). Al contrari, il segn di minôr al vâl in câs di discuardance.

Come conseguence de disavualitât triangolâr, si pues ancje scrivi$$|a-b|\ge ||a|-|b||\mathrm{\forall }a,b\in ℝ.$$

Dimostrazion: Dât che $a=(a-b)+b$, pe disavualitât triangolâr si pues scrivi$$|a|=|(a-b)+b|\le |a-b|+|b|$$ven a stâi$$|a-b|\ge |a|-|b|.$$De stesse maniere, si pues provâ che$$|b-a|\ge |b|-|a|.$$Al baste cumò notâ che $|a-b|=|b-a|$ (pe proprietât 4) e che $|a|-|b|=-(|b|-|a|)$ e, duncje, $||a|-|b||$ al è avuâl o a $|a|-|b|$ o a $|b|-|a|$. Zontant ducj i risultâts si oten la disavualitât cirude.

Bibliografie

• Wikipedia Contributors. Absolute value, in Wikipedia, The Free Encyclopedia, 20 avost 2015, <https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Absolute_value&oldid=673679090>.
• Contributori di Wikipedia, Valore assoluto, in Wikipedia, L'enciclopedia libera, 20 avost 2015, <https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Valore_assoluto&oldid=73289536>.