Derivade

La derivade e je insieme cul integrâl une da lis dôs operazions centrâls dal calcul (cjale ancje il teoreme fondamentâl dal calcul).

In matematiche, la derivade $f^{\prime }$, la si definìs par mieç dal limit:

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

I simbui doprâts pe matematiche a son diviers, e spes l'ûs al dipint dome dal gust personâl; oltri a $f^{\prime }$ si cjatin ancje:

$\frac{df}{dx};\frac{d}{dx}f;D_{x}f;\dot{f}$

Significât de derivade

Intuitivementri la derivade e esprim:

• la velocitât dal cambiament de funzion. Pensant ae definizion ca parsore, si viôt come la variazion "h" de funzion

(f(x+h)-f(x)) intun interval di timp e ven confrontade cul valôr "h" dal timp che al è passât tra x e x+h.

Un esempli inte cinematiche e je la espression de posizion di un pont esprimude in funzion dal timp, che par solit si scrîf come x(t). Se cumò o vuelin savê la velocitât di moviment dal pont, o vin di derivâ la funzion de posizion rispiet al timp. Difat, la velocitât e si gjave fûr dividint il spazi par il timp, par cui cjapant la distance percorude (es. x(t+h)-x(t)) e dividintle pal timp passât "h" nus ven fûr la velocitât medie tal interval (t,t+h): se cumò o fasin tindi a zero il timp, ven a stâi cjapin intervai simpri plui piçui di timp, o cjatarin la velocitât istantanee; chest procès al è propi compagn de definizion di derivade.

La rete e je la tangjent ae funzion f(x) tal pont x₀

• la tangjent dal pont di viste gjepmetric: la derivade di une funzion intun pont A e misure la pendence de rete tangjent al grafic de funzion in chel pont

Derivabilitât

Une funzion e je diferenziabil intun pont x se e esist la sô derivade in x; par chest une funzion che no je continue in x no sarà diferenziabil, parcè che in chel pont no esistarà la tangjent. Di chê altre bande, nol è sigûr che une funzion continue sedi diferenziabil

Derivade n-esime

La derivade n-esime f⁽ⁿ⁾ di une funzion f e je la funzion che o cjatin derivant par n voltis la funzion f. O fevelin duncje di derivade seconde, derivade tierce e cussì indevant; tal scrivi si doprin in gjenar chescj simbui:

$f^{″}=f^{(2)}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}f}{\mathrm{d}{x}^2}$ ,

$f^{‴}=f^{(3)}=\frac{{\mathrm{d}}^{3}f}{\mathrm{d}{x}^3}$ ,

...

$f^{(n)}=\frac{{\mathrm{d}}^{n}f}{\mathrm{d}{x}^n}$ .

Une funzion derivabil no je però par fuarce derivabil n voltis: par esempli, la funzion ca sot e à une derivade prime, ma no à une derivade seconde.

$f(x)=x|x|$

Difat, la derivade di f e je f' (x) = 2 |x|, che no je a sô volte derivabil.

Regulis di derivazion

Calcolâsi ogni volte il limit de funzion al puarte vie un grum di timp; par chest in gjenar si doprin lis derivadis fondamentâls: derivadis di funzions semplicis e di ûs frecuent di meti insieme par mieç di regulis di derivazion.

• Some: $\left(f\pm g\right)=f^{\prime }\pm g^{\prime }$
• Prodot (regule di Leibniz): $\left(f(x)g(x)\right)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$
• Cuozient:
  $D\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-g^{\prime }(x)f(x)}{g(x{)}^{\mathrm{2}}}$
• Funzion componude: $D\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)g^{\prime }\left(x\right)$
• Funzion disledrosade:
  $D\left(f^{-\mathrm{1}}\left(y\right)\right)=\frac{\mathrm{1}}{f^{\prime }\left(x\right)}=\frac{\mathrm{1}}{f^{\prime }\left(f^{-\mathrm{1}}\left(y\right)\right)}$

Derivadis fondamentâls

• $D\left(\text{costante}\right)=0$
• $D\left(ax\right)=a$
• $D\left(x^n\right)=n{x}^{n-\mathrm{1}}$
• $D\left(x^2\right)=2x$
• $D\left(e^x\right)=e^x$
• $D\left(a^x\right)=a^x\ln a$
• $D(\ln x)=\frac{1}{x}$
• $D(\sin x)=\cos x$
• $D(\cos x)=-\sin x$
• $D(\tan x)=D\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
• $D\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}x\right)=D\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$
• $D(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $D(\arccos x)=\frac{1}{-\sqrt{1-x^2}}$
• $D(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}$
• $D(\sinh x)=\cosh x$
• $D(\cosh x)=\sinh x$
• $D(\tanh x)=\frac{1}{{\cosh }^{2}x}$

Derivadis di funzions componudis

• $D\left(\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]\right)=f^{\prime }[g\left(x\right)]g^{\prime }\left(x\right)$
• $D\left({\left[f\left(x\right)\right]}^n\right)=n{\left[f\left(x\right)\right]}^{n-\mathrm{1}}{f}^{\prime }\left(x\right)$
• $D\left(\sqrt{f\left(x\right)}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{f\left(x\right)}}{f}^{\prime }\left(x\right)$
• $D\left(\mathrm{l}\mathrm{n}f\left(x\right)\right)=\frac{\mathrm{1}}{f\left(x\right)}{f}^{\prime }\left(x\right)=\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}$
• $D\left(e^{f\left(x\right)}\right)=e^{f\left(x\right)}{f}^{\prime }\left(x\right)$
• $D\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}f\left(x\right)\right)=f^{\prime }\left(x\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}f\left(x\right)$
• $D\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}f\left(x\right)\right)=-f^{\prime }\left(x\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}f\left(x\right)$
• $D\left(\arctan f\left(x\right)\right)=\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{\mathrm{1}+{\left[f\left(x\right)\right]}^{\mathrm{2}}}$
• $D\left(f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}\right)=f{\left(x\right)}^{g\left(x\right)}\left\{g^{\prime }\left(x\right)\mathrm{l}\mathrm{n}f\left(x\right)+g\left(x\right)\frac{\mathrm{1}}{f\left(x\right)}{f}^{\prime }\left(x\right)\right\}$

Cjale ancje

• Integrâl
• Derivade parziâl

Leams esternis

• Model:En Risolvi lis derivadis un pas par volte