Cjale il codiç di Insiemi

In [[matematiche]], un '''insiemi''' ([[:it:insieme|insieme]] par talian e [[:en:set|set]] par inglês) al è une colezion di ogjets che e ven considerade come un dutun. Cheste idee, inte sô semplicitât, e je a la base di ducj i cjamps de matematiche tant che il prin cjapitul di cualsisei bon libri di test al è dedicât al studi des principâls carateristichis e proprietâts dai insiemis.

In chest articul si cjatin lis basis de teorie classiche dai insiemis, dite ancje intuitive o naïve. No si cjaparà in considerazion, invezit, la moderne teorie assiomatiche.

== Definizions ==
Un insiemi al è une colezion di ogjets, che a vegnin clamâts '''elements''' dal insiemi. I elements a definissin totalmentri un insiemi: par esempli, si dîs che l'insiemi <math>A</math> e l'insiemi <math>B</math> (l'ûs des letaris maiusculis par clamâ i insiemis al è une vore comun) a son compagns se e dome se a son costituîts dai stes elements; in chel câs si pues scrivi <math>A=B</math>.

Intal stes insiemi si puedin vê ogjets di nature diferente (par esempli un flôr, un numar e un libri). Dâts un insiemi <math>A</math> e un ogjet <math>a</math>, si pues verificâ un e dome un dai doi câs che a seguissin:
# <math>a</math> al è un element di <math>A</math>: a si dîs che <math>a</math> al aparten a <math>A</math> e si scrîf <math>a \in A</math>;
# <math>a</math> nol è un element di <math>A</math>: a si dîs che <math>a</math> nol aparten a <math>A</math> e si scrîf <math>a \notin A</math>.

Chest al impliche che:
* no esistin câs intermedis: un element o al aparten o nol aparten a un insiemi;
* un element nol pues jessi ripetût: se al aparten a un insiemi alore al è unic inta chel insiemi.

== Descrizion ==
Definî un insiemi al significhe specificâ cuai che a son i elements che lu componin e lis dôs manieris par fâlu a son:
# par ''liste'', o sei disint un a un ducj i elements:<!---
---><br /><math>
A=\{0; 7; 33; 10088\}=\{10088; 7; 0;  33\};
</math><!---
---><br /><math>
B=\{\mbox{garofui; patatis; trisculis; cjariesis}\};
</math><!---
---><br />Lis dôs definizions di <math>A</math> a son ecuivalentis: l'ordin dai elements nol conte;
# par ''carateristiche'', o sei spiegant a peraulis cuale che e je la propietât che a lee ducj i elements:<!---
---><br /><math>
C = \{\mbox{i numars pari}\};
</math><!---
---><br /><math>
D = \{\mbox{lis machinis cuntune ruede sbuse}\}.
</math><!---
---><br />In câs plui complicâts, lis descrizions a puedin jessi dal tipo<!---
---><br /><math>
C = \{\forall n\in \mathbb{N}: n=2m, \forall m\in \mathbb{N}\}
</math><!---
---><br /><math>
E = \{\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2: y=3x + 5\}.
</math><!---
---><br />Ancje chi, <math>C</math> al è il stes insiemi intai doi câs (il significât dai simbui <math>\mathbb{N}</math> e <math>\mathbb{R}</math> al sarà spiegât plui indevant).

=== Cardinalitât ===
Il numar di elements di un insiemi si clame la cardinalitât dal insiemi. Cun riferiment ai esemplis precedents, la cardinalitât dai insiemis <math>A</math> e <math>B</math> e je di 3 e 4 rispetivementri. Chescj a son esemplis di di insiemis ''finîts'', che a son costituîts, vâl a dî, di un numar finît di elements; <math>C</math> e <math>E</math> a son invezit insiemis ''infinîts'' e a àn cardinalitât infinide (plui detais sui insiemis cuntun numar infinît di elements tal articul su la [[cardinalitât]]).

L'insiemi di cardinalitât 0 (cun nissun element) si dîs ''insiemi vueit'' e si indiche cun il simbul <math>\emptyset</math>.

=== Insiemis numerics fondamentâi ===
Introdusin cumò i insiemis numerics plui usâts in matematiche.
* I '''numars naturâi''' a son ducj i intîrs no negatîfs:<!---
---><br /><math>\mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;...\}.</math>
* I '''numars intîrs relatîfs''', vâl a dî cun segn, si indichin cun <math>\mathbb{Z}</math><!---
---><br /><math>\mathbb{Z}=\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}.</math>
* <math>\mathbb{Q}</math> al è l'insiemi dai '''numars razionâi''', ven a stai di dutis lis frazions iridusibilis (in realtât, lis frazions 3/4 e 6/8, dome par fâ un esempli, a rapresentin il stes numar) positivis e negativis:<!---
---><br /><math>\mathbb{Q}=\{\forall q: q=\frac{m}{n}, \forall m,n\in\mathbb{Z} \mbox{ e } n\neq 0\}</math>.
* L'insiemi di ducj i numars decimâi cuntun numar di cifris decimâi finît, infinît periodic o infinît no periodic a si clame insiemi dai '''numars reâi''' <math>\mathbb{R}</math>.
* I '''numars complès''' <math>\mathbb{C}</math> a son une astrazion matematiche definide par podê risolvi cierts problemis. Clamant <math>i=\sqrt{-1}</math> la ''unitât imagjinarie'', si à<!---
---><br /><math>\mathbb{C}=\{\forall z: z=x+iy, \forall x,y\in \mathbb{R}\}</math>.

== Relazions tra insiemis ==
Si à za dit che doi insiemis cui stes elements a son il stes insiemi: in tal câs si pues ancje dî che i doi insiemis a son '''coincidents'''. Al contrari, doi insiemis che no àn nissun element comun a si disin '''disiunts'''.

=== Sotinsiemis ===
[[Figure:Venn_A_subset_B.svg|thumb|right|<math>A</math> al è un sotinsiemi di <math>B</math>.]]L'insiemi <math>B</math> al è un ''sotinsiemi'' dal insiemi <math>A</math> se e dome se ducj i elements di <math>B</math> a son ancje elements di <math>A</math>. La scriture doprade e je
:<math>B\subseteq A\mbox{ o ancje } A \supseteq B</math>.

Se si è sigûrs che <math>A</math> al vedi ancje elements che no apartegnin a <math>B</math>, si tabaie alore di ''sotinsiemi tal sens stret'' o ''sotinsiemi propri'' e si scrîf:
:<math>B\subset A\mbox{ o ancje } A \supset B</math>.

Si à di notâ che cualsisei insiemi al à almancul doi sotinsiemis impropris (''no'' tal sens stret): l'insiemi vueit <math>\emptyset</math> e l'insiemi stes.

Par i insiemis numerics fondamentâi viodûts inte sezion anteriôr, a valin lis relazions che a seguissin:
:<math>\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math>.

(Nol è un erôr scrivi <math>\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}\subseteq\mathbb{C}</math>.)

==== Proprietâts de inclusion ====
* '''Proprietât riflessive''': par un cualsisei insiemi A e vâl la relazion
<math>A\subseteq A</math>.
* '''Proprietât antisimetriche''': se <math>A</math> e <math>B</math> a son doi insiemis tai che
<math>A\subseteq B</math> e <math>B\subseteq A</math>
alore
<math>A=B</math>.
* '''Proprietât transitive''': A sedin <math>A, B</math> e <math>C</math> trê insiemis. Se si à
<math>(A\subseteq B) e (B\subseteq C)</math>
alore <math>A\subseteq C</math>.

Cheste proprietât e vâl ancje cu la forme strete de inclusion o une misture des dôs.

=== Insiemi des parts ===
L'insiemi di ducj i sotinsiemis di un insiemi <math>A</math> si clame ''insiemi des parts'' ([[:en:power set|power set]] in inglês) di <math>A</math>. Par esempli, se <math>A=\{1,2,3\}</math>, l'insiemi des parts <math>\mathcal{P}(A)</math> al è
:<math>\mathcal{P}(A)=\{\emptyset; A; \{1\}; \{2\}; \{3\}; \{1; 2\}; \{1; 3\}; \{2; 3\}\}</math>.

Par un insiemi finît di <math>n</math> elements, si pues dimostrâ che la cardinalitât dal insiemi des parts e je <math>2^n</math> (in curt, par ogni element a son dôs pussibilitâts: che al stedi o che nol stedi tal sotinsiemi considerât. Une volte decidût se un element al sta o no tal sotinsiemi, si à di fâ compagn par ducj chei altris elements. Il numar di pussibii sotinsiemis si calcole duncje moltiplicant un fatôr 2 par ogni element).

== Operazions cui insiemis ==
[[Figure:Venn0111.svg|thumb|right|Union di doi insiemis.]] [[Figure:Venn0001.svg|thumb|right|Intersezion di doi insiemis.]] [[Figure:Venn0010.svg|thumb|right|Insiemi diference di doi insiemis.]] [[Figure:Venn1010.svg|thumb|right|Complementâr dal insiemi <math>A</math> intal insiemi univiers <math>U</math>.]]
* '''Union''': la union di doi insiemis al è un insiemi che al conten sie i elements dal prin insiemi che chei dal secont. Par esempli, se definin<!---
---><br /><math>A=\{1; 4; 8; 11\} \mbox{ e } B=\{3; 5; 4; 7; 1\}</math><!---
---><br />alore la union e je<!---
---><br /><math>A\cup B=\{1; 4; 8; 11; 3; 5; 7\}</math>.<!---
---><br />Si pues notâ che <math>A</math> e <math>B</math> a son sotinsiemis dal insiemi union <math>A\cup B</math> e che i elements comuns ai doi insiemis (<math>\{1; 4\}</math>) no vegnin ripetûts.

* '''Intersezion''': la intersezion di doi insiemis e je un insiemi che al à come elements dome i elements comuns ai doi insiemis. Cun <math>A</math> e <math>B</math> come prime, si à<!---
---><br /><math>A\cap B=\{1; 4\}</math>.<!---
---><br />De definizion, al risulte clâr che l'insiemi intersezion al è un sotinsiemi di ducj i doi i insiemis di partence.<!---
---><br />O vin viodût prime che doi insiemis si disin disgiunts cuant che no àn elements in comun. Si pues cumò dâ une definizion ecuivalent e disi che doi insiemis a son disgiunts se la lôr intersezion e da un insiemi vueit.

* '''Insiemi diference''': l'insiemi diference di <math>A</math> in <math>B</math> (<math>B\setminus A</math> o <math>B-A</math>) al è l'insiemi dai elements di <math>B</math> che no apartegnin a <math>A</math>. Continuant cul esempli:<!---
---><br /><math>B\setminus A=\{3; 5; 7\} \mbox{ e } A\setminus B=\{8; 11\}</math>.

* '''Complementâr''': In cierts câs, ducj i insiemis considerâts a son sotinsiemis di un insiemi plui grant clamât ''insiemi univiers''; in chestis situazions, il complementâr di un insiemi <math>A</math> al è l'insiemi diference di <math>A</math> intal insiemi univiers. Se o clamìn <math>U</math> l'insiemi univiers e <math>\bar{A}</math> (o ancje <math>\mathcal{C}_U(A)</math> o <math>A'</math>) il complementâr di <math>A</math>, si à<!---
---><br /><math>\bar{A} = U \setminus A</math>.

* '''Prodot Cartesian''': I elements dal prodot cartesian <math>A\times B</math> di doi insiemis <math>A</math> e <math>B</math> a son dutis lis pussibilis copis ordenadis che si puedin costruî sielzint il prin element intal insiemi <math>A</math> e il secont element intal insiemi <math>B</math>. In simbui:<!---
---><br /><math>A\times B = \{(a,b)|a\in A \text{ e } b\in B\}.</math><!---
---><br />Al e facil viodi che la cardinalitât dal prodot cartesian <math>A \times B</math> e je il prodot des cardinalitâts di <math>A</math> e <math>B</math> (cuant che <math>A</math> e <math>B</math> a an un numar finît di elements). Cun di plui, jessint che i elements di <math>A \times B</math> a son copis ordenadis, il prodot cartesian nol è comutatîf, vâl a dî <math>A \times B \ne B \times A</math>.

=== Proprietâts des operazions ===
Presentìn cumò lis principâls proprietâts des operazions cui insiemis.
Intai esemplis che a seguissin, i insiemis <math>A, B</math> e <math>C</math> a son sotinsiemis dal insiemi univiers <math>U</math>.
* '''Proprietât comutative''': union e intersezion a gjoldin de proprietât comutative<!---
---><br /><math>A\cup B = B\cup A</math>;<!---
---><br /><math>A\cap B = B\cap A</math>.
* '''Proprietât associative''': union e intersezion a gjoldin de proprietât associative, che e permet di estindi la definizion des dôs operazions ai câs cun plui di doi insiemis<!---
---><br /><math>A\cup B\cup C = (A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)</math>;<!---
---><br /><math>A\cap B\cap C = (A\cap B)\cap C = A\cap (B\cap C)</math>.
* '''Proprietât distributive''': de intersezion rispiet ae union<!---
---><br /><math>A\cup (B\cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)</math><!---
---><br />e de union rispiet ae intersezion<!---
---><br /><math>A\cap (B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)</math>.
* '''Formulis di De Morgan''':<!---
---><br /><math>\overline{A\cap B} = \bar{A}\cup\bar{B}</math>;<!---
---><br /><math>\overline{A\cup B} = \bar{A}\cap\bar{B}</math>.
A valin, par prionte, ancje lis seguintis proprietâts cence un non particolâr:
* <math>A\cup A = A \mbox{ e } A\cap A = A</math>;
* <math>A\cup \emptyset = A \mbox{ e } A\cap \emptyset = \emptyset</math>;
* <math>\overline{\bar{A}}=A</math>;
* <math>A\cap\bar{A} = \emptyset \mbox{ e } A\cup\bar{A}=U</math>;
* <math>A\setminus A = \emptyset</math>;
* <math>A\setminus B = A \cap \bar{B}</math>.

== Bibliografie ==
* G. Spirito. ''Matematica Senza Numeri''. Newton Compton, 1995. ISBN 88-7983-814-8
* A. M. Pittana, G. Mitri e L. De Clara. ''La Nomencladure des Matematichis''. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 1997.
* M. Fogale e E. Paolini. ''Une Introduzion ae Analisi Matematiche''. Istitût Ladin Furlan Pre Checo Placerean, 2001.
* Wikipedia Contributors. ''Set'', in ''Wikipedia, the Free Enciclopedia'', 30 July 2007, 00:14 UTC, <http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Set&oldid=147952691> [accessed 9 August 2007]
* Contributori di Wikipedia. ''Insieme'', in ''Wikipedia, l'Enciclopedia Libera'', 8 giugno 2007, 19:50 UTC, <http://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Insieme&oldid=9201617> [in data 9 agosto 2007]

[[Categorie:Matematiche]]