Cjale il codiç di Derivade

La '''derivade''' e je insieme cul [[integrâl]] une da lis dôs operazions centrâls dal [[calcul]] (cjale ancje il [[teoreme fondamentâl dal calcul]]).

In [[matematiche]], la derivade <math>f'</math>, la si definìs par mieç dal [[Limit (matematiche)|limit]]:

:<math> f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}.</math>

I simbui doprâts pe matematiche a son diviers, e spes l'ûs al dipint dome dal gust personâl; oltri a <math>f'</math> si cjatin ancje:

<math>\frac{df}{dx};~ \frac{d}{dx}f;~ D_x f;~\dot{f} </math>

== Significât de derivade ==
Intuitivementri la derivade e esprim:

* la velocitât dal cambiament de funzion. Pensant ae definizion ca parsore, si viôt come la variazion "h" de funzion
(''f(x+h)-f(x)'') intun interval di timp e ven confrontade cul valôr "h" dal timp che al è passât tra x e x+h. 

Un esempli inte [[cinematiche]] e je la espression de posizion di un pont esprimude in funzion dal timp, che par solit si scrîf come ''x(t)''. Se cumò o vuelin savê la [[velocitât]] di moviment dal pont, o vin di derivâ la funzion de posizion rispiet al timp. Difat, la velocitât e si gjave fûr dividint il spazi par il timp, par cui cjapant la distance percorude (es. ''x(t+h)-x(t)'') e dividintle pal timp passât "h" nus ven fûr la velocitât medie tal interval (t,t+h): se cumò o fasin tindi a zero il timp, ven a stâi cjapin intervai simpri plui piçui di timp, o cjatarin la [[velocitât istantanee]]; chest procès al è propi compagn de definizion di derivade.

[[Figure:Tangent-calculus.png|thumb|right|400px|La rete e je la tangjent ae funzion f(x) tal pont x<sub>0</sub>]]
* la [[tangjent]] dal pont di viste gjepmetric: la derivade di une funzion intun pont A e misure la pendence de rete tangjent al grafic de funzion in chel pont

== Derivabilitât ==
Une [[funzion (matematiche)|funzion]] e je '''diferenziabil''' intun pont ''x'' se e esist la sô derivade in ''x''; par chest une funzion che no je [[Continuitât (matematiche)|continue]] in x no sarà diferenziabil, parcè che in chel pont no esistarà la tangjent. Di chê altre bande, nol è sigûr che une funzion continue sedi diferenziabil

== Derivade n-esime ==
La ''derivade ''n''-esime'' ''f''<sup>(''n'')</sup> di une funzion ''f'' e je la funzion che o cjatin derivant par ''n'' voltis la funzion ''f''. O fevelin duncje di '''derivade seconde''', derivade tierce''' e cussì indevant; tal scrivi si doprin in gjenar chescj simbui:

: <math>f'' = f^{(2)} = \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}</math> ,
: <math>f''' = f^{(3)} = \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3}</math> ,
: ...
: <math>f^{(n)} = \frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}x^n}</math> .

Une funzion derivabil no je però par fuarce derivabil ''n'' voltis: par esempli, la funzion ca sot e à une derivade prime, ma no à une derivade seconde.

:<math>f(x) = x |x|</math>

Difat, la derivade di ''f'' e je ''f' ''(''x'') = 2 |x|, che no je a sô volte derivabil.

== Regulis di derivazion ==
Calcolâsi ogni volte il limit de funzion al puarte vie un grum di timp; par chest in gjenar si doprin lis derivadis fondamentâls: derivadis di funzions semplicis e di ûs frecuent di meti insieme par mieç di ''regulis di derivazion''.

* Some: <math>{\left( {f \pm g} \right)' = f' \pm g'}</math>
* Prodot (''regule di Leibniz''): <math>{\left( {f(x)g(x)} \right)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)}</math>
* Cuozient: <div style="vertical-align:-100%;display:inline;"><math>{D\left( {{f(x) \over g(x)}} \right)  = {{f'(x)g(x) - g'(x)f(x)} \over {g(x)^{\rm 2}}}}</math></div>
* Funzion componude: <math>{D\left( {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right) = f'\left( {g\left( x \right)} \right)g'\left( x \right)}</math>
* Funzion disledrosade: <div style="vertical-align:-100%;display:inline;"><math>{D\left( {f^{ - {\rm 1}} \left( y \right)} \right) = {{\rm 1} \over {f'\left( x \right)}} = {{\rm 1} \over {f'\left( {f^{ - {\rm 1}} \left( y \right)} \right)}}}</math></div>


== Derivadis fondamentâls ==
* <math>{D\left( \textrm{costante} \right) = 0 }</math>
* <math>{D\left( {ax} \right) = a }</math>
* <math>{D\left( {x^n } \right) = nx^{n - {\rm 1}} }</math>
* <math>{D\left( {x^2 } \right) = 2x }</math>
* <math>D\left( e^x  \right) = e^x </math>
* <math>D\left( a^x  \right) = a^x \ln a</math>
* <math>D\left( \ln x \right) = \frac 1 x</math>
* <math>D\left( \sin x \right) = \cos x</math>
* <math>D\left( \cos x \right) =  - \sin x</math>
* <math>D\left( \tan x \right) = D\left( \frac {\sin x}{\cos x} \right) = 1 + \tan^2 x = \frac 1{\cos^2 x}</math>
* <math>D\left( {\rm cotan\,} x \right) = D\left( \frac {\cos x}{\sin x} \right) = \frac 1{\sin^2 x}</math>
* <math>D\left( \arcsin x \right) = \frac 1{\sqrt {1 - x^2}}</math>
* <math>D\left( \arccos x \right) = \frac 1{ - \sqrt {1 - x^2}}</math>
* <math>D\left( \arctan x \right) = \frac 1 { 1 + x^2}</math>
* <math>D\left( \sinh x \right) = \cosh x</math>
* <math>D\left( \cosh x \right) = \sinh x</math>
* <math>D\left( \tanh x \right) = \frac 1 {\cosh^2 x} </math>

== Derivadis di funzions componudis ==

* <math>{D\left( {\left[ {f\left( {g\left( x \right)} \right)} \right] } \right) = {f'[{g\left( x \right)} ]{g'\left( x \right)}} }</math>
* <math>{D\left( {\left[ {f\left( x \right)} \right]^n } \right) = n\left[ {f\left( x \right)} \right]^{n - {\rm 1}} f'\left( x \right)}</math>
* <math>{D\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right) = {{\rm 1} \over {{\rm 2}\sqrt {f\left( x \right)} }}} f'\left( x \right) </math>
* <math>{D\left( {{\rm ln}f\left( x \right)} \right) = {{\rm 1} \over {f\left( x \right)}}f'\left( x \right) = {{f'\left( x \right)} \over {f\left( x \right)}}}
</math>
* <math>{D\left( {e^{f\left( x \right)} } \right) = e^{f\left( x \right)} f'\left( x \right)}</math>
* <math>{D\left( {{\rm sin}f\left( x \right)} \right) = f'\left( x \right){\rm cos}f\left( x \right)}</math>
*<math>{D\left( {{\rm cos}f\left( x \right)} \right) =  - f'\left( x \right){\rm sin}f\left( x \right)}</math>
*<math>{D\left( {\arctan f\left( x \right)} \right) = {{f'\left( x \right)} \over {{\rm 1} + \left[ {f\left( x \right)} \right]^{\rm 2} }}}
</math>
*<math>{{D\left( {f\left( x \right)^{g\left( x \right)} } \right) = f\left( x \right)^{g\left( x \right)} \left\{ {g'\left( x \right){\rm ln}f\left( x \right) + g\left( x \right){{\rm 1} \over {f\left( x \right)}}f'\left( x \right)} \right\}}}</math>

== Cjale ancje ==
* [[Integrâl]]
* [[Derivade parziâl]]

== Leams esternis ==
* {{en}} [https://web.archive.org/web/20130903235434/http://calc101.com/webMathematica/derivatives.jsp Risolvi lis derivadis un pas par volte]

[[Categorie:Analisi matematiche]]